50 años de fractales: las fórmulas matemáticas que se convirtieron en una nueva categoría de arte

Con los Elementos la ciencia matemática alcanzó su definición perfecta, la pureza de su estructura. Pero con el paso del tiempo la geometría amplió sus horizontes euclidianos. En el siglo XIX, Carl Friedrich Gauss, "el príncipe de las matemáticas", János Bolyai y Nikolái Ivánovich Lobachevski establecieron lo que se conoce como "geometrías no euclidianas", en las que no se cumplen todos los postulados sobre los que Euclides basó su geometría, especialmente el quinto ("por un punto fuera de una recta, solo puede parar una recta paralela a la dada").

Poco después Bernhard Riemann extendió la geometría a espacios de estructuras más generales y de cualquier dimensión, siendo las tres de nuestra cotidianeidad un caso particular, como también lo es la geometría, plana, euclidiana.

El mundo propio de los números y nuestra inexplicable forma de entenderlos

Gracias, por cierto, a la geometría riemaniana Albert Einstein pudo construir su teoría general de la relatividad, todavía hoy, ciento diez años después de que hiciera su aparición, la que explica los fenómenos ligados a una de las cuatro fuerzas que se conocen en la naturaleza, la gravitacional.

Una propiedad unía a todas estas geometrías, el que los espacios que describían tenían dimensiones enteras: los volúmenes tienen 3 dimensiones, 2 las áreas, 1 las líneas y 0 los puntos. El espacio en el que, al menos aparentemente, existimos, tiene dimensión 3, y si aceptamos que el marco geométrico de la relatividad einsteiniana posee realidad, esta es la de espacio-tiempo de dimensión 4.

Hace cincuenta años, en 1975, en un artículo publicado en la revista de la Académie des Sciences francesa, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, titulado "Geométrie fractale de la turbulence", un matemático que llegó a Francia desde su Polonia natal, que su familia, de origen judío, había abandonado en 1936, que sobrevivió con dificultad cuando los nazis ocuparon Francia, y que terminó instalándose más tarde en Estados Unidos, Benoît Mandelbrot (1924-2010), publicó un artículo en el que creó una nueva rama de las matemáticas, la de los "fractales", término procedente del adjetivo latino fractus.

En uno de sus libros, La geometría fractal de la naturaleza (1982; Tusquets, 1997), Mandelbrot explicó que la matemática tradicional, la de la geometría de Euclides, era "incapaz de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol, porque ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni la corteza es suave, ni tampoco un rayo es rectilíneo".

La geometría fractal ha ayudado a modelar el tiempo meteorológico, a analizar las ondas cerebrales y a comprender la distribución de las galaxias

Una característica fundamental de sus fractales, denominada "de escala", es que las formas que describe pueden fraccionarse en partes menores, cada una de las cuales evoca la totalidad a menor escala.

En uno de sus libros, dedicado a una de las aplicaciones de su nueva geometría, las finanzas, que escribió junto a Richard Hudson, que fue director de la edición europea de The Wall Street Journal durante seis años, Fractales y finanzas (2004; Tusquets, 2006), encontramos también detalles de lo que hizo: "Mi contribución clave fue descubrir una nueva rama de la matemática que percibe el orden oculto en lo aparentemente desordenado, la regularidad en la irregularidad y la escabrosidad de la naturaleza".

¿Dónde están las mariposas? El cambio climático y el adiós de las especies

Y continúa: "Esta matemática, llamada geometría fractal, tiene mucho que decir en las ciencias naturales, pues ha ayudado a modelar el tiempo meteorológico, a estudiar los cursos fluviales, a analizar las ondas cerebrales y los temblores de la tierra, y a comprender la distribución de las galaxias. Hoy se emplea de manera usual en el dominio de las estructuras artificiales, para medir el tráfico en Internet, comprimir ficheros informáticos y hacer películas".

En la cultura matemática de la época en que Mandelbrot comenzó a presentar sus ideas, estas fueron consideradas por muchos matemáticos, sino por la mayoría, oscuras y poco precisas, y en consecuencia no estaban interesados en ellas. Los matemáticos se dedicaban a estudiar regularidades, no la falta de ellas.

Se trataba, al fin y al cabo, como él mismo dijo, "de un nuevo lenguaje", el lenguaje del "Euclides de la geometría fractal", como le ha caracterizado Dane Camp en un artículo publicado en The Mathematical Teacher (noviembre de 2000), "El Euclides de la Geometría fractal".

Un nuevo lenguaje y una nueva forma de arte, que, según reconoció el propio Mandelbrot en un artículo, "Fractals and an art for the sake of science", publicado en 1989, "no fue comisionado para ningún propósito comercial, incluso aunque todos los primeros trabajos los hice cuando trabajaba para IBM. Y que no tiene necesariamente que ver con la sensibilidad estética. Por consiguiente, argumentaré que la geometría fractal parece haber creado una nueva categoría de arte".

Donald Trump y la vuelta del macartismo: silenciar a la ciencia como estrategia política

La referencia a IBM es importante, no solo porque, efectivamente, Mandelbrot trabajó en IBM durante 35 años, comenzando en 1958 (aunque con períodos en los que enseñó en Harvard), sino porque fue allí, al intentar resolver problemas de ruido en circuitos, cuando se dio cuenta de la peculiar geometría que aparecía en muy diversas y diferentes dominios.

Cuando se dio cuenta y cuando pudo utilizar las facilidades informáticas de IBM para dibujar esas estructuras geométricas que han terminado por introducirse en todo tipo de expresiones artísticas.

El "arte fractal" no hubiera podido aparecer antes de que, en la década de 1970, el hardware de las computadoras no estuviera disponible, y el software no estuviera siendo desarrollado. Como el propio Mandelbrot reconoció, "crear arte fractal a mano habría sido prohibitivamente laborioso".

Y aunque la matemática fractal hubiera podido crearse de manera independiente, lo que no es tan seguro, su manifestación artística ha ayudado a, al menos, ser conocida por el gran público. Por eso, y por lo mucho que ayuda a entender que la naturaleza esconde más de lo que aparentemente creemos ver, es oportuno recordar hoy el 50 cumpleaños de los fractales.