Ilustración de Vida de los números (T ediciones) sobre una idea de Antonio J. Durán

José Manuel Sánchez Ron reflexiona sobre la incertidumbre en las matemáticas. De las certezas inamovibles de la geometría de Euclides a los trabajos de Kurt Gödel, quien afirmó que existen sentencias que no podemos demostrar y sistemas cuya consistencia es imposible verificar

La vida está repleta de incertidumbre, cuando no de decisiones que en principio, cuando las ejecutamos, nos parecen correctas pero que posteriormente se revelan erróneas. Debido a esto, nos aferramos a aquello que nos parece seguro: la lealtad de la familia o de los amigos ha sido uno de esos, aparentemente firmes, puntales, como también lo han sido los credos religiosos o las adhesiones políticas. No tengo que explicar lo inseguro que pueden llegar a ser tales agarraderos: amigos o familiares que nos traicionan, ideas políticas que se convierten en obsoletas, o que desvirtúan los políticos de turno, un fenómeno éste que encuentra múltiples ejemplos en la actualidad. Y respecto a las religiones, ¿cuántos han llegado al convencimiento de que esa fe que una vez profesaron tiene los pies de barro?

Yo no me quejo del lote familiar o de las amistades de que dispongo, pero soy demasiado individualista para mostrar adhesión inquebrantable a las doctrinas políticas que pretenden abanderar los partidos de turno, y hace mucho que perdí completamente la fe en la parte fundamental -que no es la social, que en algunas puede ser admirable- de las religiones, de cualquier religión. En tal situación, y dejando de lado a familia y amigos, ¿encuentro algún pilar que pueda considerar realmente firme?

Semejante pregunta es, por supuesto, demasiado compleja, posee tantas aristas y dimensiones que no puedo responder a ella de manera sencilla, pero me referiré a uno de los pilares que considero más seguros. No les extrañará, claro, que ese sea "la ciencia". Ahora bien, ¿todas las ciencias o alguna en especial? La cuestión tiene su relevancia porque recordemos que los resultados científicos que se obtienen, las teorías que se construyen para "ordenar" -y en este sentido, "explicar"- las entidades y fenómenos que se identifican en el cosmos, cambian continuamente. Las teorías astronómico-cosmológicas de Copérnico sustituyeron a las de Aristóteles-Ptolomeo; las de Einstein hicieron lo propio con las de Newton; entre lo que pensaban y sabían los alquimistas y las teorías químicas de Lavoisier existe una sima profunda, como también la hay entre éste y los químicos cuánticos como Linus Pauling. Y podría continuar con mil ejemplos más.

Por supuesto, ese permanente estado de flujo constituye la esencia y vitalidad de la ciencia. Pero aun así, ¿no existe en ésta algo que sea más seguro? En principio, hay una respuesta afirmativa a esta cuestión: "Sí, la matemática". La geometría que Euclides presentó y desarrolló en los siglos III-IV a. C., en esa obra imperecedera bautizada como Elementos, es tan válida y segura hoy como lo fue en tiempos de aquel matemático. Que en el siglo XIX se encontrasen sistemas geométricos diferentes, no cambia nada, únicamente implica que existen otros tipos de geometrías, tan seguras como la euclideana aunque su dominio de aplicación sea diferente. La lección que se debe extraer de los Elementos es que los constructos matemáticos se basan en axiomas, que no hay que demostrar, pero que no deben entrar en conflicto entre sí, de los que se deducen, mediante las leyes de la lógica, proposiciones y teoremas. Una vez que se demuestran, esas proposiciones o teoremas son inalterables, absolutamente seguros. Implícito en esto reside la idea de que es posible demostrar la verdad o falsedad de una proposición matemática. De ahí su, para mí, gran atractivo, el que la considere un pilar al que agarrarse en un mundo tan cambiante como resbaladizo.

Lamentablemente el pilar matemático no es tan firme como se creyó. En 1931, un lógico-matemático nacido en Brno (Moravia, actual Chequia) de nombre Kurt Gödel (1906-1978) publicó un artículo que conmocionó tanto a la matemática como a la filosofía, y que arruinó las esperanzas de hacer de la matemática una disciplina reducible a la segura lógica. En ese artículo Gödel demostró que existen sentencias que no podemos demostrar si son o no ciertas, y sistemas cuya consistencia es imposible verificar. Es algo análogo a la paradoja lingüística: "Supongamos que un hombre dice: ‘Soy un mentiroso' Si es mentiroso, su afirmación es verdadera. Si no es mentiroso, entonces, al decir que es mentiroso, es mentiroso, luego dice la verdad (no es mentiroso). Por consiguiente, cualquier hipótesis implica su contraria".

Los resultados de Gödel me producen una gran admiración por la creatividad de su autor, pero también una profunda sensación de desamparo. Ya ni siquiera es posible encontrar seguridad en el único lugar donde creíamos que existía, en la matemática. No todas las cuestiones que se plantea nuestro entendimiento son susceptibles de ser resueltas por él. Claro que lo que también demuestra este resultado es el poder extraordinario de la mente humana, que es capaz de averiguar los límites de sus construcciones. ¿O quizá los límites de la propia mente?

Al igual que en cualquier otra actividad o profesión humana, en el ámbito de la ciencia se encuentran personas de tipos muy diversos. Gödel fue uno de los "particulares"; no podría calificarlo de "excéntrico" porque su personalidad era natural, no producto de ninguna pose. Hasta 1939 vivió en Europa, principalmente en Viena, ciudad en la que participó activamente en el famoso Círculo de Viena, que pretendió renovar la filosofía. En 1939 pasó a formar parte del reducido claustro del exclusivo Instituto de Estudio Avanzado de Princeton (Estados Unidos), junto a luminarias como Albert Einstein o John von Neumann. Allí se intensificó una de sus características: su extraño y solitario carácter. Vivía la mayor parte del tiempo en un mundo propio, relacionándose en general únicamente con un, por entonces, científicamente aislado Einstein. Murió envuelto en las grises y amargas nieblas de la demencia (no quería alimentarse porque creía que lo querían envenenar). Se pensaba que había dejado importantes trabajos sin publicar, pero cuando se abrieron las cajas que había dejado, encontraron billetes de autobús, tickets de compras diversas y cosas parecidas. A veces pienso que quienes son bendecidos por el don de creatividad extrema son castigados con otras miserias.