El autor de 'Dios creó los números', Stephen Hawking.

ELEMENTOS. LIBRO PRIMERO

DEFINICIONES

1. Un punto es lo que no tiene partes.
2. Una línea es una longitud sin anchura.
3. Los extremos de una línea son puntos.
4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
5. Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura.
6. Los extremos de una superficie son líneas.
7. Una superficie plana es aquella que yace por igual respecto de las líneas que están en ella.
8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.
9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas el ángulo se llama rectilíneo.
10. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes6 iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto y la recta levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que está.
11. ángulo obtuso es el (ángulo) mayor que un recto.
12. ángulo agudo es el (ángulo) menor que un recto.
13. Un límite es aquello que es extremo de algo.
14. Una figura es lo contenido por uno o varios límites.
15. Un círculo es una figura plana comprendida por una línea [que se llama circunferencia] tal que todas las rectas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.
16. Y el punto se llama centro del círculo.
17. Un diámetro del círculo es una recta cualquiera trazada a través del centro y limitada en ambos sentidos por la circunferencia del círculo, recta que también divide el círculo en dos partes iguales.

POSTULADOS
1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.
18. Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia por él cortada. Y el centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.
19. Figuras rectilíneas son las comprendidas por rectas, triláteras las comprendidas por tres, cuadriláteras las comprendidas por cuatro, multiláteras las comprendidas por más de cuatro rectas.
20. De entre las figuras triláteras, triángulo equilátero es la que tiene los tres lados iguales, isósceles la que tiene sólo dos lados iguales, y escaleno la que tiene los tres lados desiguales.
21. Además, de entre las figuras triláteras, triángulo rectángulo es la que tiene un ángulo recto, obtusángulo la que tiene un ángulo obtuso, acutángulo la que tiene los tres ángulos agudos.
22. De entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene los ángulos y lados opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y llámense trapecios las demás figuras cuadriláteras.
23. Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

NOCIONES COMUNES
1. Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
2. Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.
3. Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
7. Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
8. Y el todo es mayor que la parte.

PROPOSICIóN 47
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Sea ABG el triángulo rectángulo que tiene el ángulo recto BAG.
Digo que el cuadrado de BG es igual a los cuadrados de BA, AG.
Trácese pues a partir de Br el cuadrado B.EG, y a partir de BA, AG los cuadrados HB, TG [I, 46], y por el (punto) A trácese A. paralela a una de las dos (rectas) B., GE; y trácense A., ZG. Y dado que cada uno de los ángulos AG, BAH es recto, entonces en una recta cualquier BA y por un punto de ella, A, las dos rectas AG, AH, no colocadas en el mismo lado, hacen los ángulos adyacentes iguales a dos rectos; por tanto, GA está en línea recta con AH [I, 14]. Por la misma razón, BA también está en línea recta con AT. Y como el ángulo .BG es igual al (ángulo) ZBA porque cada uno (de ellos) es recto añádase a ambos el (ángulo) ABG;entonces el(ángulo) entero. BA es igual al (ángulo) entero ZBG [N. C. 2]; y como AB es igual a BG, y ZB a BA, los dos (lados) .B, BA son iguales respectivamente a los dos (lados) ZB, BG; y el ángulo .BA es igual al ángulo ZBG; entonces la base A. es igual a la base ZG, y el triángulo AB. es igual al triángulo ZBG [I, 4]; y el paralelogramo B. es el doble del triángulo AB.: porque tienen la misma base B. y están entre las mismas paralelas B., A. [I, 41]; pero el cuadrado HB es el doble del triángulo ZBG: porque tienen a su vez la misma base ZB y están entre las mismas paralelas ZB, HG [I, 41]; [pero los dobles de cosas iguales son iguales entre sí]; 21 por tanto, el paralelogramo B. es también igual al cuadrado HB. De manera semejante, trazando las (rectas), BK se demostraría que también el paralelogramo G. es igual al cuadrado TG; por tanto, el cuadrado entero B.EG es igual a los cuadrados HB, TG [N. C. 2]. Asimismo, el cuadrado B.EG ha sido trazado a partir de BG, y los (cuadrados) HB, TG a partir de BA, AF. Por tanto, el cuadrado del lado Br es igual a los cuadrados de los lados BA, AG.
Por consiguiente, en los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

LIBRO QUINTO. DEFINICIONES
1. Una magnitud es parte de una magnitud, la menor de la mayor, cuando mide a la mayor.
2. Y la mayor es múltiplo de la menor cuando es medida por la menor.
3. Una razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas.
4. Se dice que guardan azón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra.
5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el
orden correspondiente.
6. Llámese proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón.
7. Entre los equimúltiplos, cuando el múltiplo de la primera excede al múltiplo de la segunda pero el múltiplo de la tercera no excede al múltiplo de la cuarta, entonces se dice que la primera guarda con la segunda una razón mayor que la tercera con la cuarta.
8. Una proporción entre tres términos es la menor posible.
9. Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la tercera una razón duplicada de la que (guarda) con la segunda.
10. Cuando cuatro magnitudes son proporcionales, se dice que la primera guarda con la cuarta una razón triplicada de la que (guarda) con la segunda, y así siempre, sucesivamente, sea cual fuere la proporción.
11. Se llaman magnitudes correspondientes las antecedentes en relación con las antecedentes y las consecuentes con las consecuentes.
12. Una razón por alternancia consiste en tomar el antecedente en relación con el antecedente y el consecuente en relación con el consecuente.
13. Una razón por inversión consiste en tomar el consecuente como antecedente en relación con el antecedente como consecuente.
14. La composición de una razón consiste en tomar el antecedente junto con el consecuente como una sola (magnitud) en relación con el propio consecuente.
15. La separación de una razón consiste en tomar el exceso por el que el antecedente excede al consecuente en relación con el propio consecuente.
16. La conversión de una razón consiste en tomar el antecedente en relación con el exceso por el que el antecedente excede al consecuente.
17. Una razón por igualdad se da cuando, habiendo varias magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, sucede que como la primera es a la última entre las primeras magnitudes, así entre las segundas magnitudes la primera es a la última; o, dicho de otro modo, consiste en tomar los extremos sin considerar los medios.
18. Una proporción perturbada se da cuando habiendo tres magnitudes y otras iguales a ellas en número, sucede que como el antecedente es al consecuente entre las primeras magnitudes, así entre las segundas magnitudes el antecedente es al consecuente, y como el consecuente es a alguna otra (magnitud) entre las primeras magnitudes, así entre las segundas magnitudes alguna otra (magnitud) es al antecedente.