Recreación de una parte imaginaria del disco de Poincaré

La famosa Conjetura de Poincaré ha sido un motor para la investigación matemática , aportando, desde su planteamiento a principios del siglo pasado, nuevos caminos para la disciplina. El próximo mes de agosto, en el transcurso del XXV Congreso Internacional de Matemáticas de Madrid, el matemático ruso G. Perelman podría hacer oficial el anuncio de su resolución. Joan Porti, de la Universidad Autónoma de Barcelona y uno de los máximos especialista en la materia, analiza para El Cultural la historia y la dificultad del problema.

Circula una anécdota sobre un par de matemáticos de los años 60. Ambos buscaban una demostración de la conjetura de Poincaré, pero individualmente, sin colaborar. Cada mañana se cruzaban en bicicleta en el campus de la universidad de Estados Unidos donde investigaban. No les daba tiempo a conversar pero sí de saludarse rápidamente y de percibir el estado de ánimo del colega. Si alguno de ellos estaba muy contento, el otro se preocupaba después de verlo, temiendo que hubiese demostrado la conjetura de Poincaré antes que él. Cuando al día siguiente el matemático había cambiado su faz alegre por una profundamente enfadada, el otro seguía su curso aliviado, porque se imaginaba que había encontrado un error en la demostración. Prefiero no dar los nombres de los matemáticos implicados, porque no sé qué veracidad atribuir a esta anécdota. De todos modos es perfectamente plausible y, además de mostrar aspectos poco sanos de la psicología de los investigadores, esta anécdota me sirve para ilustrar la importancia que le dan los matemáticos a esta conjetura. No sólo en los años 60, sino durante todo el siglo XX, desde su planteamiento en 1904 hasta su resolución reciente. En el año 2000, el Clay Institute lo catalogó como un de los siete problemas del milenio. Para hablar de la conjetura, antes debo referirme a la topología, el área de las matemáticas donde se sitúa.

Geometría de los objetos
Popularmente se describe la topología como la geometría de los objetos elásticos o flexibles. Es la rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de los objetos que no cambian al deformarlos continuamente: estirarlos, achatarlos y retorcerlos, siempre sin cortarlos ni pegarlos. Los topólogos no miran la distancia, puesto que se puede cambiar al deformar, sino nociones más sutiles. Los orígenes de la topología se remonta a mediados del siglo XVIII, con los trabajos de Euler en teoría de grafos, que la llamó "analysis situs". El neologismo "topología" fue introducido por el matemático alemán de origen checo J.B. Listing en 1836, aunque la denominación en latín se mantuvo hasta principios del siglo XX. A finales del siglo XIX y principios del XX recibió un importante impulso con los trabajos de Henri Poincaré, matemático francés muy influyente en el posterior desarrollo de diversas áreas de las matemáticas y de la física. En particular, en 1904 planteó la conjetura que lleva su nombre y que no se ha resuelto hasta el siglo XXI. Este problema ha sido un motor para la investigación en topología durante todo el siglo XX y se ha llegado a su resolución con ideas nuevas y apasionantes. Para situarnos mejor debemos hablar de las variedades, espacios que tienen una dimensión determinada. Por ejemplo una recta o un círculo son variedades de dimensión uno, puesto que se describen como un parámetro. El plano o la esfera son ejemplos de variedades bidimensionales, al utilizar dos parámetros para describir posiciones. El espacio en que vivimos es una variedad tridimensional y, si le añadimos la dimensión temporal, el espacio-tiempo es una variedad de dimensión cuatro.

Singularidades geométricas
Como objetos geométricos, las variedades fueron introducidas por B. Riemann a mediados del siglo XIX y constituyeron una herramienta clave para la física del siglo XX. La teoría de la relatividad especial o restringida fue postulada por Einstein en 1905, pero hasta que no incorporó las variedades no enunció la teoría de la relatividad general (1915). Por ejemplo, los agujeros negros son singularidades geométricas de la variedad espacio-tiempo. Si hablamos de geometría de variedades, medimos la longitud del círculo, el área de la esfera, o la longitud de curvas en la esfera. Si hablamos de topología, no miramos estas nociones sino otras más abstractas, que no varíen al deformar la variedad. Por ejemplo, los topólogos no distinguen una esfera de un cubo, puesto que podemos redondear el cubo si este es de un material deformable adecuado. En cambio, sí diferencian una esfera de la superficie de una rosquilla.

Poincaré enunció su conjetura, o más bien su pregunta, en el artículo "Cinquième complement à l'analysis situs" (1904). Se trata de una serie de seis artículos, el "analysis situs" publicado en 1895 y sus cinco complementos (todavía no había adoptado el término topología). En ellos se basaron la mayoría de trabajos en topología algebraica de los siguientes cuarenta años y han quedado como los fundamentos de muchas líneas de investigación.

Poincaré se dio cuenta que podía caracterizar topológicamente la esfera de dimensión dos mediante una propiedad, y preguntó si la misma propiedad caracterizaba la esfera tridimensional. La propiedad es la siguiente: la esfera es la única variedad bidimensional en la que toda curva se contrae (se deforma a un punto). Observamos que esta propiedad no se cumple en la superficie de una rosquilla, puesto que tiene un agujero y la curva que da la vuelta no se puede contraer (tendríamos que cortarla, ¡pero esto no está permitido en topología!).

La esfera tridimensional se puede definir generalizando la esfera bidimensional de la siguiente manera. La superficie de la tierra es una esfera bidimensional, y la podemos ver como la unión de todos sus círculos paralelos. Es decir, una familia a un parámetro de círculos concéntricos de radio variable, desde el polo norte al polo sur (puntos o círculos de radio cero), pasando por todos los paralelos, incluidos los trópicos y el ecuador (de radio máximo). Pues bien, la esfera tridimensional se puede imaginar como una familia a un parámetro de esferas, empezando y terminando por puntos, y pasando por radios que aumentan hasta el ecuador, y vuelven a disminuir hasta el polo sur. La pregunta de Poincaré es la siguiente: ¿Es la esfera la única variedad tridimensional para la cual toda curva se contrae? Después de formularla, Poincaré añadió: "mais cette question nous entrainerait trop loin". Efectivamente, nos ha llevado muy lejos temporalmente (al siglo XXI) y científicamente. Al desarrollarse la investigación en dimensión tres durante todo el XX, los topólogos tenían clavada la espina de no haber demostrado la conjetura de Poincaré. La esfera es la variedad más simple en cualquier dimensión, y sin tener su caracterización parecía difícil llegar a conocer razonablemente las variedades de dimensión tres, lo que justificaba los esfuerzos por demostrarla. Por otro lado, los topólogos se planteaban la posibilidad que no fuese cierta, y también dedicaron esfuerzos a buscar contraejemplos (es decir, variedades diferentes de la esfera que cumpliesen la propiedad). Un contraejemplo habría supuesto una corriente subterránea de conocimiento que ignorábamos previamente.

Variedades abiertas
Diversos intentos de demostración fueron muy fructíferos. Además de dar pie a resultados utilizados finalmente en la demostración, algunos abrieron nuevos campos de investigación. Cito uno de los más notables, el de J. H. C. Whitehead, que llegó a publicar una demostración falsa. Poco después, el mismo Whitehead encontró el error y construyó un contraejemplo a sus argumentos, lo que llevó al desarrollo de la teoría de las llamadas variedades abiertas.

Durante muchos años se utilizaron las técnicas combinatorias, que permitieron demostrar las generalizaciones en dimensión superior a 5 (S. Smale en 1961) y dimensión 4 (M. Freedman 1982), pero no el problema inicial. La solución en dimensión tres ha llegado con métodos geométricos. La gran contribución en esta dirección la hizo W.P. Thurston alrededor de 1980. Se conocían teoremas de descomposición de variedades, pero hasta entonces se ignoraban cómo eran estos trozos después de la descomposición. Thurston propuso que estos trozos se podrían uniformizar, es decir, que se podrían ver como variedades geométricas homogéneas, en que todos los puntos tuviesen las mismas propiedades métricas. La conjetura de Thurston era más ambiciosa que la conjetura de Poincaré, pero aportaba el punto de vista apropiado.

Ecuación diferencial
Casi al mismo tiempo, R. Hamilton introdujo la técnica para demostrarla: se trata de tomar una ecuación diferencial análoga a la del flujo del calor. El comportamiento del calor viene descrito por una ecuación diferencial, que nos dice cómo se evoluciona en el espacio para repartirse uniformemente. Hamilton propuso una ecuación análoga para repartir la curvatura en las variedades, y demostrar la conjetura de Thurston, pero no llegó a completar la demostración. Esto lo hizo el matemático ruso G. Perelman, en un par de pre-publicaciones que colgó en un servidor de internet en 2002 y 2003.

Estos artículos no siguen el formato de una publicación científica estándar, sino que dan las etapas generales de la demostración, pendiente de verificar, de completar muchos detalles y de hacerle pequeñas correcciones. Desde entonces los especialistas han trabajado en ello y actualmente ya se da por válida. Falta hacer el anuncio oficial de la resolución del problema que probablemente tendrá lugar en el próximo Congreso Internacional de Matemáticos, el simposio más importante en matemáticas, de carácter cuatrienal, y que tendrá lugar en Madrid el próximo mes de agosto. Es probable que Perelman no se moleste en venir, pero esto ya es otro tema.

JOAN PORTI PIQUé