Gödel

Incompletitud: palabra todavía no aceptada, que yo sepa, por la RAE, pero de fuerte implantación entre los lógicos, los matemáticos y los físicos teó-ricos. Designa uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática convertido en referencia ineludible del pensamiento contemporáneo. Aquel teorema de incompletitud que Gödel lanzó al mundo matemático -ocupado entonces en buscar una salida- provocó una inesperada conmoción. Un teorema sobre la verdad en matemáticas, la que puede ser comprobada mediante sucesivos pasos lógicos, a partir de unos axiomas: lo que llamamos una "demostración". De ello nos va a hablar este libro.

Quien estableció el modelo -para la geometría- fue Euclides. Se trataba de agrupar en un sistema organizado toda una variedad de proposiciones dispersas: cada una de ellas procede por demostración de otras, éstas de otras anteriores y así, en un proceso ascendente, se llega a unos enunciados primeros de los que se deducen todos los demás. Esas primeras proposiciones no demostradas son los axiomas, algo así como los padres generadores de toda la tribu. Una proposición pertenecerá a la tribu, es decir será verdadera, si existe una cadena que la enlace con sus axiomas. Así, la verdad matemática queda asegurada no por una comprobación empírica sino por un ejercicio de pura razón, algo muy sugestivo para una mente griega.

Este esquema -más de veinte siglos lo contemplan- hizo de la geometría un modelo de pensamiento científico y se buscó extenderlo a toda la matemática como una solución a los problemas surgidos a comienzos del siglo pasado. Para que sea válido se precisa que el sistema sea consistente -sin contradicciones- y completo. Las cosas iban bien en Gotinga, bajo el liderato de Hilbert, hasta que un oscuro y taciturno Kurt Gödel logró hacerse oir, echándolo todo abajo con el resultado de sus investigaciones: la aritmética o cualquier sistema que la englobe, es incompleta; contiene, enunciados que no pueden demostrarse ni refutarse dentro del sistema. Adviértase que no se dice que el sistema, o la misma aritmética, no sean consistentes, sino que esa consistencia no puede ser demostrada.

No es la única advertencia que hacen nuestros autores, ya que los teoremas de incompletitud han llegado a tener también ecos en otras disciplinas, y son conscientes de que una interpretación algo ligera puede conducir a afirmaciones erróneas. Como decir, por ejemplo, que el teorema de Gödel prueba que no hay certidumbre total ni siquiera en la matemática o que ninguna verdad puede ser establecida, cuando en realidad "no es un teorema acerca de la verdad sino de la insuficiencia de los métodos matemáticos para regenerar, vía demostraciones, la totalidad de los enunciados verdaderos". O los intentos de aplicación del mismo en disciplinas sociales fuera de las matemática, en la poesía, la filosofía, el psicoanálisis y hasta en política, como hizo Régis Debray, para acabar reconociendo los graves errores de la extrapolción fuera de su campo y disimular diciendo que sólo las utilizó a título metafórico.

Pero, sobre todo, ademas de las puntualizaciones, de los apuntes biográficos, de la descripción de las distintas aportaciones y de la abundancia de ejemplos y ejercicios, los autores no han dudado en explicar el teorema de Incompletitud e incluso, pese a no ser nada fácil, de demostrarlo "para todos", incluso para los que no saben "nada de nada". Uno de ellos, Guillermo Martínez, tiene ya acreditada su habilidad como autor de novelas como Los crímenes de Oxford, un enigma matemático policial llevado al cine por Álex de la Iglesia.