Kurt Güdel

Se cumple este año el centenario del nacimiento del matemático americano de origen checo Kurt Güdel (1906-1978), uno de los más grandes lógicos de la historia. Seguramente no será festejado como otros que por estas fechas celebren aniversarios parecidos. Su obra no es, salvo en círculos muy específicos, tan divulgada como el de esas otras figuras más populares. Bien está, pues, que este volumen con sus Obras Completas, que tampoco pretende aprovechar la conmemoración, nos la haga presente.

Para empezar hay que dejar claro que no es éste un libro de exposición básica sino especializado en muchos tramos. Por suerte, la meritoria labor del profesor Mosterín, que ha prologado todos y cada uno de los artículos de Güdel, incluso los que apenas llenarían una cuartilla, ofrece declaraciones y explicaciones oportunas para su recta comprensión. Son artículos reducidos en su extensión y densos de contenido que tocan la más variada gama de argumentos: teoría de números, geometría, relatividad, lógica, filosofía de la ciencia, análisis no estandar,... De entre ellos hay que destacar algunos textos decisivos en la historia del pensamiento. Cupo a Güdel vivir tiempos de crisis en la fundamentación de la matemática y tiene notas sobre cada una de las escuelas que se enfrentaron a ella, pero su aportación fundamental cae dentro de los postulados del formalismo.

Hilbert había planeado organizar la matemática como un sistema formal de reglas y axiomas lógicos que permitiesen deducir sin ambigöedad todas las proposiciones de la misma. En su tesis doctoral, presentada en 1930 en la Universidad de Viena, Güdel sí demuestra esa suficiencia del cálculo deductivo en la lógica de primer orden: con él se pueden derivar todas las fórmulas. válidas. Pero he aquí que al año siguiente irrumpe con un trabajo demoledor para el programa total; es el resultado más famoso de todos los suyos y tal vez de la historia entera de la lógica: cualquier sistema formal que incluya alguna parte de la aritmética es incompleto si añadiésemos nuevos axiomas, tomando por ejemplo como tales las proposiciones indecibles. La hipótesis de trabajo planteado por el formalismo se hace así inviable. Y además demuestra que es imposible probar la consistencia o no contradicción de un sistema formal sin salirse de él, contando sólo con sus propios recursos y razonamientos.

Tras esa bomba, Güdel publica en 1938 otro trabajo en el marco de la teoría de conjuntos. El axioma de elección era necesario, entre otras cuesttiones, para la comparabilidad de dos cardinales cualesquiera y el temor de que su incorporación introdujera contradicciones en la matemática clásica quedó desvanecido cuando demostró que, si un sistema es consistente, sigue siéndolo al añadirle el axioma de elección. En el mismo trabajo prueba también que la hipótesis del continu no admite refutación: su negación no se deduce de los demás teoremas de la teoría de conjuntos. Este era uno de los famosos 23 problemas que Hilbert propuso en 1900.

No es fácil, excepto para quien esté familiarizado con estos temas, calibrar la trascendencia de los resultados de Güdel y la revolución que provocó el de 1931. Ante ellos, y sin perder su valía, quedan quizá algo desdibujados los restantes artículos que componen el libro. Son todos los que se habían publicado hasta 1980 pero ya Mosterín advierte que hay numerosas notas, cartas y breves recensiones aún inéditas y que tardarán varios años en ser publicadas. Precisamente creo haber reseñado un libro posterior, Ensayos inéditos (Modadori, 1994) con los titulados "Algunos teoremas básicos sobre los fundamentos de la matemática y sus implicaciones filosóficas", escrito en 1951, y "¿Es la matemática sintaxis del lenguaje?", dos de los varios al parecer que sobre ese tema escribió en aquellos años 50.

Debe de quedar un depósito de sus trabajos inéditos en Princeton, donde fue acogido hasta su muerte desde que en el año 1939 salió de Austria para traladarse a Estados Unidos, nada menos que utilizando el Transiberiano. Fue una vida la suya de fuerte dramatismo: delicado de salud, esquivo y huidizo, torturado por graves depresiones que le llevaron en sus últimos días a negarse a comer por temor a un envejecimiento. Nada de ello puede empañar la imagen de uno de los grandes lógicos, quizá el mayor de todos los tiempos.