Vista parcial de los anillos de Saturno tomada por la nave espacial Cassini. Foto: NASA

Sanchez Ron vuelve al fascinante mundo de las matemáticas para contrastarlo con los aspectos más significativos de la realidad. "Penetran hasta tal punto en las leyes que codifican los fenómenos naturales, que parece que el Universo es matemático en un sentido profundo", escribe.

Hace dos semanas traté de la "intemporalidad" de las matemáticas, de su carácter autónomo, propio de un mundo de ideas que pueden o no realizarse en la Naturaleza. Precisamente de este último punto, de la relación de las matemáticas con la realidad, con el Universo y lo que en él existe, quiero ocuparme hoy.

Sucede que a pesar de vivir aparentemente en el mundo platónico de las ideas, la matemática es un instrumento imprescindible para la ciencia. Es cierto que no desempeña siempre el mismo papel en las diferentes ciencias, pero no exagero si digo que el ideal de cualquier teoría científica es poder ser expresada mediante una forma matemática cerrada, reducirla a un conjunto de ecuaciones que describen leyes, ideal que se manifiesta de forma particularmente rotunda en la física. Pensemos, por ejemplo, en el libro de Charles Darwin, El origen de las especies (1859): no contiene ni una sola expresión matemática, lo que no impide, obviamente, que se trate de una obra científica, pero la, digamos, mayoría de edad de la teoría de la evolución de las especies comenzó cuando el matemático G. H. Hardy aplicó sus conocimientos a la entonces incipiente genética mendeliana, resultados que publicó en una nota al editor, en julio de 1908, en la revista Science. Allí, Hardy -al igual que de manera independiente el médico Wilhelm Weinberg (de ahí que se hable de "ley de Hardy-Weinberg")- se enfrentaba a un problema que surgió en los primeros intentos de aplicar modelos matemáticos a la aparición de modificaciones en la descendencia de una pareja, modificaciones que se producían si los padres se desviaban de la media de la población. Los análisis teóricos demostraban que semejantes desviaciones terminaban desapareciendo, debilitadas en los cruces entre individuos. Así que, ¿cómo explicar la aparición de nuevas especies? Hardy lo explicó.

La matemática penetra hasta tal punto en las leyes que codifican los fenómenos naturales, que parece que el Universo es matemático en un sentido profundo. El físico Eugene Wigner, premio Nobel de Física, expresó de manera exquisita esta característica y problema en una conferencia titulada: "La irrazonable efectividad de la matemática en las ciencias naturales" (1959). Mucho antes, Galileo manifestó en Il Saggiatore (1623): "La filosofía está escrita en ese grandísimo libro que continuamente está abierto ante nuestros ojos (es decir, en el universo), pero no se puede entender si primero no se aprende a comprender su lengua y a conocer los caracteres en que está escrito. Está escrito en lengua matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin cuya ayuda es humanamente imposible entender nada; sin éstas es como girar vanamente por un oscuro laberinto". Y en el mismo sentido, en 1927 Albert Einstein se preguntaba: "¿Cómo puede ser que la matemática -un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia- se adecúe tan admirablemente a los objetos de la realidad?".

Encontramos evidencias del papel de las matemáticas en la naturaleza en todo tipo de ejemplos, entre ellos, uno relacionado con uno de los apartados más básicos de la matemática: la teoría de números. Los números más sencillos, los que todos conocemos, son los denominados "números naturales": 0, 1, 2, 3... Su correlato en la naturaleza es inmediato: 1 silla, 2 personas, 3 electrones... Vienen luego los "números enteros", que incorporan a los números negativos: ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... Evidentemente, no podemos decir que hay -2 personas en una habitación, pero sí hablar de un balance de cuentas negativo y, por ejemplo en la física, de cargas eléctricas positivas y negativas: un electrón tiene carga e negativa, -e, un protón, positiva, +e, y un neutrón, nula, 0. Tenemos luego los "números racionales", formados por el cociente entre dos números enteros (con el divisor distinto de 0), las denominadas fracciones o números fraccionarios del tipo ½ o ¾. Al intentar determinar el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1 (que es la raíz cuadrada de 2), surgieron los "números irracionales", que, por supuesto, no son lo que su nombre sugiere. Y al medir la longitud de una circunferencia, o el área que engloba, apareció otro tipo de números ("transcendentes"), en este caso el número Pi. El valor tanto de los números irracionales como el de los transcendentes se expresa mediante una sucesión infinita de números naturales (Pi = 3,14159...), lo que no impide que, como muestran sus orígenes, se manifiesten en la naturaleza.

Y si consideramos las raíces cuadradas, ¿cuál es la raíz cuadrada de -1? Parecía que dentro del conjunto de los números anteriores (denominados "números reales") esto no tenía sentido, pero se introdujo un nuevo concepto, en el que la raíz cuadrada de -1 era un número, al que se representó mediante la letra i. Así nacieron los "números complejos", que desempeñan un papel central en numerosos campos de la física, desde la electrónica a la mecánica cuántica, en la que el objeto fundamental, la denominada función de onda, que proporciona la probabilidad de que suceda una cosa u otra, está definida en el dominio de los números complejos.

Si abandonamos la teoría de números, encontramos estructuras matemáticas en prácticamente todas las leyes con las que describimos la naturaleza: ecuaciones diferenciales ordinarias en las leyes del movimiento que explican desde la caída de una piedra hasta el vuelo de un cohete, ecuaciones en derivadas parciales para representar los fenómenos electromagnéticos, matrices y operadores funcionales en la física cuántica, geometrías planas o curvas (como en la teoría de la relatividad general, la que mejor describe la gravitación), o las geometrías fractales, que introdujo Benoît Mandelbrot en 1967, que poseen dimensiones no enteras y que describen escenarios tan reales como el contorno de una costa, la distribución de estrellas en el universo, la estructura de nubes de gases interestelares, la turbulencia o la forma de un árbol.

Como vemos, las matemáticas aparecen en todas partes, lo que no significa que sepamos responder a la pregunta de por qué la Naturaleza "es matemática". Y existe otro gran problema: la matemática está compuesta por una inmensidad de entes y estructuras, sólo una parte de los cuales encuentra (o hemos encontrado) su correlato en la naturaleza. ¿Tiene sentido preguntarse si acaso todavía no se han descubierto los fenómenos naturales a los que aguarda su estructura matemática, en este o en otros universos?