Matemáticas

Se buscan números primos… ¿pero para qué?

El mayor número primo hasta ahora se ha dado a conocer este mes. Se trata de una cifra larguísima, compuesta por más de 22 millones de dígitos. ¿Cuál es la principal utilidad práctica de estos peculiares números?

Una representación artística de una distribución de números primos.

Una representación artística de una distribución de números primos.

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Bien por tradición, por su utilidad presente -y futura-, por su belleza, porque suponen un reto intelectual o incluso por dinero, algunos matemáticos siguen dedicados a la búsqueda de números primos.

Un número primo es aquel natural mayor que uno y que sólo admite dos divisiones distintas: por él mismo y por 1. Así, son primos el 2, el 3, el 5, el 7, el 11… pero no lo son el 4, el 6, el 8, el 9, el 12… Fueron definidos por primera vez por Euclides en su obra Los Elementos (alrededor del año 300 AC) y, desde entonces, muchos matemáticos se han esforzado en aumentar esta particular e infinita lista.

Lo cierto es que, en la vida diaria, tienen una utilidad limitada. "Los números primos se suelen usar en criptografía, en el llamado sistema RSA, conocido por las iniciales de sus creadores: Ron Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, del MIT", comenta Manuel de León, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

El cifrado RSA, también conocido como asimétrico o de clave pública, se basa en la dificultad de factorizar números grandes y funciona así: un mensaje de texto puede transformarse en una serie de cifras fruto del producto de dos números primos grandes elegidos al azar. Cada usuario tiene una clave pública, que puede entregar a cualquier persona, y guarda una privada, que sólo él conoce. El remitente sólo necesita una copia de la clave pública del destinatario y cifrar con ésta el mensaje, mientras que el receptor usará su clave privada para poder acceder al texto.

"RSA es un sistema que se basa en la expresión de un número en sus factores primos, básicamente lo que aprendemos en el colegio", añade De León, que explica en qué se basa la robustez de su seguridad: "Se buscan dos números primos muy grandes, se multiplican, y el problema para los que quieran descifrar el mensaje es que el producto es un número tan grande que resulta casi imposible recuperar sus dos factores; esto se inventó en 1977 y fue toda una revolución".

Según este experto, en el cifrado radica hoy por hoy la importancia práctica de los números primos, "que son además los ladrillos con los que se construyen todos los demás números", apunta.

El primo más alto

El pasado día 7 de enero, el doctor en matemáticas de la University of Central Missouri Curtis Cooper anunciaba el hallazgo del mayor número primo conocido hasta la fecha: 2 elevado a 74.207.281 -1, o sea: dos multiplicado por sí mismo 74.207.281 millones de veces, menos uno. Si lo escribiéramos, necesitaríamos espacio para meter 22.338.618 dígitos. Y ha sido bautizado como M74207281. El anterior numero primo récord, descrito en 2013, constaba de más de 17 millones de dígitos.

El hallazgo, además, tiene una peculiaridad: se trata de un número primo de Mersenne, una rareza matemática llamado así en honor al monje francés del siglo XVII Marin Mersenne, que ya en su época conjeturó algunas de sus propiedades. Se definen por la fórmula 2 elevado a p-1, de modo que los primeros números primos de Mersenne son 3, 7, 31 y 127, siendo p= 2, 3, 5 y 7, respectivamente. Hasta la fecha sólo se conocen 49 de estos números.

Curiosamente, la gran mayoría de los números primos más altos descubiertos son primos de Mersenne. De hecho, explica Manuel de León, uno de los mecanismos para construir números primos es usar propiedades como la que descubrió Mersenne: "Uno toma un número primo p y aplica la fórmula 2 elevado a p y luego se resta 1; algunas veces éste resulta un primo".

"Existe un algoritmo muy rápido y eficiente, llamado test de Lucas Lehemer, que funciona bien para decidir si un número de Mersenne es primo", apunta Maria Emilia Alonso, profesora del Departamento de Álgebra en la UCM. "Así pues, a pesar de tratar siempre con números grandes, es mucho más sencillo averiguar que un número de Mersenne es primo que demostrar que otro de tamaño similar y que es primo lo es de verdad".

Por ello, parece que ésta es la vía más rápida para hallar nuevos números primos altos. Y precisamente los últimos anuncios provienen de una red de voluntarios que, mediante computación distribuida, dedican potentes ordenadores a la búsqueda de estos peculiares números.

Cooper explica a EL ESPAÑOL que "uno beneficios directos de la búsqueda de números primos de Mersenne es el descubrimiento y la experimentación de nuevos algoritmos para la determinación de números primos de Mersenne y primos en general", afirma. Otro beneficio es que la recogida de datos de las pruebas de los números primos de Mersenne que pueden ayudar a varios teóricos de comprender mejor la distribución de estos números. 

Cómo se calcula

Curtis Cooper y la University of Central Missouri son los principales contribuyentes en tiempo al proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search, o Gran Búsqueda en Internet de los Primos Mersenne), un ejemplo de cooperación en red que se apoya en cientos de voluntarios que ceden potencia de sus ordenadores para calcular sin descanso números primos. Para ello, los participantes utilizan un programa libre, Prime95.

No es la primera vez que Cooper encuentra grandes números primos de Mersenne: desde 2005, ha calculado en cuatro ocasiones el número primo más alto, aunque estos descubrimientos nunca se hubieran dado sin los voluntarios de GIMPS, que filtran cantidades ingentes de números en busca de los candidatos que resultan ser no primos.

Si bien un número tan alto difícilmente podría usarse hoy en día en cifrado -actualmente el que usa el banco o el correo electrónico utiliza números primos de unos cientos de cifras, 22 millones es algo excesivo-, la búsqueda en sí tiene otro beneficio práctico: poner a prueba el hardware y la arquitectura de las máquinas encargadas de calcular, tal y como comenta a este diario el propio Cooper.

Tradicionalmente, algunos programas para la búsqueda de números primos se han utilizado como test para procesadores. De hecho, las rutinas de software del proyecto GIMPS eran ya utilizadas por Intel para probar sus legendarios chips Pentium II y Pentium Pro. Incluso ahora, durante el proceso de búsqueda de este último número primo de Mersenne, se detectó un fallo en los últimos procesadores Intel Core i7 -antes llamados Skylake-, usados para tal fin.

"Otro beneficio indirecto de GIMPS es la prueba de que un gran proyecto de computación distribuida puede funcionar realmente", añade Cooper.

Chris Caldwell, profesor de matemáticas en la University of Tennessee y uno de los principales impulsores del proyecto GIMPS "en su tiempo libre", explicaba hace tiempo las razones por las que se siguen calculando números primos. Grandes matemáticos los han estudiado desde hace siglos, recuerda este científico, que además apunta a que la investigación puede dar lugar a otros descubrimientos provechosos. Otras razones que expone para seguir escarbando en busca de estos escurridizos números son: por el mero hecho de "coleccionar objetos raros y bellos", por un deseo de competir ("¡Por la gloria!") e incluso por dinero: la fundación EFF ofrece una jugosa recompensa de 150.000 dólares para el primero que descubra un número primo de 100 millones de cifras.

"De todos modos", añade con humor la profesora Maria Emilia Alonso, "es difícil de explicar al mundo exterior en qué nos divertimos los matemáticos". 

Mientras, la búsqueda continúa. "Hay infinitos números primos y esto ya lo probó Euclides, es un razonamiento muy simple por reducción al absurdo: si supongo que hay un número finito, llego a una contradicción", comenta el matemático Manuel de León, que añade: "Por lo tanto, nunca acabaremos de encontrar números primos".

[Noticia ampliada]